Problème de Poisson :

• \(\Omega\subset{\Bbb R}^d\) est un Ouvert
  borné
• \(f\in L^p(\Omega)\)

$$\Huge\iff$$

• condition aux bords de Neumann : $$\exists!u\in H^1(\Omega),\forall v\in H^1(\Omega),\quad Q(u,v)=L(v)$$
• condition aux bords de Dirichlet : $$\exists!u\in H^1_0(\Omega),\forall v\in H^1_0(\Omega),\quad Q(u,v)=L(v)$$
• avec \(Q(u,v)=\displaystyle\int_\Omega\langle{\nabla u(x),\nabla v(x)}\rangle +u(x)v(x)\,dx\) et \(L(v)=\displaystyle\int_\Omega f(x)v(x)\,dx\)

Démontrer (pour la conditon aux bords de Neumann) :

\(Q\) vérifie les axiomes d'un Produit scalaire.

\(L\) est une forme linéaire continue d'après l'Inégalité de Cauchy-Schwarz.

On conclut par Théorème de représentation de Riesz.

Démontrer (pour la conditon aux bords de Dirichlet) :

\(H^1_0(\Omega)\) est un sous-espace vectoriel fermé de \(H^1(\Omega)\).

En restreignant le produit scalaire \(Q\), on a alors un Espace de Hilbert.

On conclut par Théorème de représentation de Riesz.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire la formulation énergétique du problème de Poisson.
Verso: On cherche à minimiser la fonctionnelle : $$\begin{align} J(u)&=\int_\Omega\frac{\lvert\nabla u\rvert^2+u^2}2-fv\\ &=\frac12Q(u,v)-L(v)\end{align}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire le problème de Poisson sous forme d'une EDP.
Verso:

• Neumann : \(-\Delta u+u=f\) sur \(\Omega\) et \(\langle{u,n}\rangle =0\) sur \(\partial\Omega\)
• Dirichlet : \(-\Delta u+u=f\) sur \(\Omega\) et \(u=0\) sur \(\partial\Omega\)

Bonus:

Carte inversée ?:
END